Geometrisi düzgün olmayan dönen kütlelerin eylemsizliği
Eylemsiz bir koordinat sistemi içinde sabit bir ekran etrafında dönmekte olan katı bir cismin hareketini inceleyeceğiz.
Bir katı cismi oluşturan parçacıklardan herhangi birine t torkunun uygulandığını düşünelim. Katı cismin içindeki parçacıkların birbirlerine göre olan konumu değişmediğinden bu tork cisme tümüyle uygulanmış gibi davranır. Genellikle torku temsil eden r vektörü, cismin etrafında serbestçe döndüğü eksen boyunca uzanmaz. Eksenler üzerindeki izdüşümler cismin aynı eksen etrafında dönmesine neden olurlar, torkun dönme eksenine dik olan bileşenleri, eksenin sabit olan yönünü değiştirme eğilimindedir.
Şekilde bir eylemsiz koordinat sisteminin z ekseni etrafında serbestçe dönebilen katı cismin şekil düzlemi üzerindeki kesiti gösterilmiştir. P noktasında parçacığa etkiyen F kuvveti, x-y düzlemi üzerinde alınmıştır. P noktasının konumu ise dönme eksenine göre tanımlanan r vektörü ile belirlenmektedir. P noktasında parçacığa etkiyen tork cisim katı olduğundan, tüm cisme etkiyormuş gibi davranır.
t = r x F
F ve r vektörleri x-y düzlemi içinde bulunduğundan t torku z ekseni doğrultusundadır.
Torkun yönü sağ el kuralına göre saptanır. Özel olarak bu durum için tork şekil düzleminden dışa doğru yönelmiştir. F ve r şekil düzlemi içinde bulunmasalardı, tork z eksenine paralel olmayacaktı, bu durumda yalnız t torkunun z ekseni üzerindeki izdüşümü ile ilgilenilecektir. Dolayısıyla F ve r’nin x-y düzlemi içinde bulunduğunu kabul etmekle, en genel durumun incelenmesinden bir eksiklik sözkonusu olmamaktadır. t torkunun mutlak değeri,
t = r F sin q
olarak verilmiştir.
Sabit eksendeki reaksiyonlar:
Sabit bir AB ekseni etrafında serbestçe dönebilen keyfî biçimli bir cismi göz önüne alalım (şekil 644). Eksen A ve B noktalarında yataklarla mesnetlenmiştir. Yataklarda sür­tünme yoksa ve cisme yalnız yerçekimi kuvveti etkiyorsa, cisim, ağırlık merkezinin en alçak konumuna tekabül eden kararlı denge konumunu alacaktır. Bu denge konumunda yataklara iletilen basınç; statiğin denk­lemlerini kullanarak tayin edilebilir. Eksene bir burulma momenti tatbik edilirse cisim yerçekimi kuvvetinin momenti ile, tatbik edilen burulma momentinin birbirlerini dengeledikleri konumu kadar döner. Aşikârdır ki yataklardaki basınçlar, tatbik edilen bu dış momentle değişmezler ve ka­rarlı denge halindeki değerlerini muhafaza ederler.
Şimdi cismin AB ekseni etrafında sabit bir w açısal hızı ile döndüğünü düşünelim; bu halde cisme etkiyen bütün dış kuvvetlerin AB eksenine göre olan momentleri toplamının sıfır olması gerekir. Dönme sebebi ile yataklarda genellikle ilâve basınçlar meydana gelir. Bu ilâve basınçların
hesabı için D’Alembert kuralını kullanarak dönen cismin her elemanına kendi atalet kuvvetini uygulayacağız. Bundan sonra, dönme esnasında yataklarda, bu atalet kuvvetlerinin meydana getirdikleri ilave basınçları statik denklemlerini kullanarak hesaplayabiliriz. Bu denklemlerin yazılmasında bir x,y,z kartezyen eksen takımı kullanacağız. Koordinat başlangıcı olarak A yatağının merkezini, z ekseni olarak da dönme eksenini alacağız. Dönme esnasında x ve y eksenlerinin cisimle beraber döndüğünü farzedeceğiz. Dönme ekseninden r uzaklığında olan bir D noktasındaki dm kütleli bir maddesel noktayı gözönüne alırsak, cismin füzgün dönmesi sebebiyle, bu elemanın yalnız radyal w2r ivmesine sahip olduğu sonucuna varırız. Böylece bu elemana etkiyen atalet kuvveti w2r dm olur. Ve bu atalet kuvvetinin x ve y eksenleri üzerindeki izdüşümü sırasıyla
w2x dm ve w2y dm (a)
olur ve aynı eksenlere göre olan momentleri ise
-w2yz dm ve w2xz dm (b)
şeklinde yazılabilir; burada momentlerin işaretleri sağ el vida kaidesine göre tayin edilmiştir. Yataklardaki bilinmeyen reaksiyonlar şekilde gös­terildiği gibi sırasıyla Xa,Ya ve Xb, Yb bileşenlerine ayrılabilir. Reaksi­yonların bu bileşenlerini tayin etmek için bütün kuvvetlerin x ve y eksen­leri üzerindeki izdüşümlerinin toplamının sıfıra eşit olduklarını ifade eden iki denklemle yine aynı kuvvetlerin aynı eksenlere göre olan momentleri toplamının sıfıra eşit olduğunu ifade eden iki denklemden ibaret dört denklem yazılabilir. Böylece (a) ve (b) ifadelerini kullanarak
Xa+Xb+w2 ∫x dm=0
Ya+Yb+w2 ∫-y dm=0
-Ybl- w2 ∫xz dm=0
(c)
denklemlerini elde ederiz. Burada aşağıdaki notasyonları yapalım.(1)
∫x dm=W. xc/g , ∫y dm= W. yc/g , ∫ yz dm=Iyz , ∫ xz dm=Ixz
Burada W/g cismin toplam kütlesini, xc, yc ise ağırlık merkezinin koordinatlarını gösterir. Bu notasyonları kullanırsak yukarıdaki denklemler sistemini
Xa+Xb=-w2w xc /xg, Ya+Yb=-w2w xc /yg
Yb=-w2 Iyz /l , Xb=-w2 Ixz/l
şeklinde yazabiliriz. Reaksiyon kuvvetlerinin dört bileşeni, malûm olan,. cismin ağırlık merkezine ait koordinatları ve sırasüe x, z ve y, z eksenle­rine göre olan çarpım atalet momentleri değerlerinin kullamlmasile bu denklemlerden hesaplanırlar. Cismin ağırlık merkezinin dönme ekseni üzerinde olduğu özel halde x: = yc — Q olur ve (77) denklemlerinin ilk iki­sinden
X,= -Xb ve ya=-Yb
sonucu elde edilir. Böylece yatak reaksiyonlarının Xa, Xz ve Ya, Yb bi­leşenleri xz ve yz düzlemi içinde olan bir çift kuvvetler çifti ile temsil edilebilir. Buradan da dönen cismin herhangi bir eksenel düzlemi içeri­sinde bir bileşke kuvvetler çifti bulunduğu sonuncuna varılır. Cismin dön­mesi esnasında bu bileşke kuvvetler çiftinin düzlemi de cisimle beraber döner ve böylece yataklar bu düzgün surette dönen kuvvetlerin etkisine maruz kalırlar. Böyle dönen kuvvetler, daha evvelce de gördüğümüz gibi, yataklarda zorlanmış titreşimler doğurabilirler ve genel olarak hiç arzu edilmeyen şeylerdir. Bu reaksiyonları yok etmek için, (77) denklemlerinin son ikisinden görüleceği gibi, cismin y, z ve .v, z eksen takımlarına göre olan çarpım atalet momentlerini sıfır yapmak gerekir; bu halde, atalet kuvvetlerinden dolayı, mesnetlerde meydana gelen bu reaksiyonlar tamamen kaybolurlar. Bu şart da ancak dönme ekseninin ağırlık merke­zinden geçmesi ve asal atalet eksenlerinden biri ile çakışması halinde sağlanabilir. Sonunç olarak, ağırlık merkezinden geçen asal eksenlerinden biri etrafında dönen bir cismin yataklarda değişken basınçlar meydana getirmeyeceğini ifade edebiliriz.
Kaynaklar: Dinamik (J.L.Meriam ; çev.Mustafa Sabuncu)
Fiziğin Temelleri – I
Cuma Haz. 08, 2007 5:34 pm